일반 물리학 Chapter 6.원운동과 뉴턴 법칙의 응용
*본 포스팅은 Serway 물리학교재 번역본 <대학물리학> 9판을 정리한 내용입니다. *
6.1 등속 원운동하는 입자 모형의 확장
일정한 속력 \(v\) 로 반지름 \(r\) 인 원 궤도를 따라 움직이는 등속 원운동하는 입자 모형에 대해 가속도의 크기는 \(a_c = \frac{v^2}{r}\)
이때 가속도 \(\vec{a}_c\) 가 원의 중심을 향하기 때문에 이 가속도를 구심 가속도(centripetal acceleration)라 한다.
뉴턴의 제2법칙을 지름 방향에 적용하면 구심 가속도를 일으키는 알짜힘은 다음과 같다.
\[\Sigma{F} = ma_c = m \frac{v^2}{r}\]6.2 비등속 원운동
입자가 원 궤도를 일정하지 않은 속력으로 운동하면, 가속도의 지름 성분 외에도 \(dv/dt\)의 크기를 갖는 접성 성분이 존재함.
그러므로 입자에 작용하는 힘도 또한 접선 성분과 지름 성분을 가져야 한다.
전체 가속도가 \(\vec{a} = \vec{a}_r + \vec{a}_t\)이기 때문에, 입자에 작용하는 전체 힘은 \(\Sigma{F} = \Sigma{F}_r + \Sigma{F}_t\) 이다.
지름 방향 힘과 접선 방향 힘 각각은 결합되는 여러 힘으로 구성되어 있을 수 있으므로, 합 기호를 사용하여 알짜힘을 나타낸다.
벡터 \(\Sigma{F}_r\)는 원의 중심을 향하고 구심 가속도를 만든다. 원에 접하는 벡터 \(\Sigma{F}_t\)는 시간에 따른 입자의 속력 변화를 나타내는 접선 가속도를 만든다.
6.3 가속틀에서의 운동
6.4 저항력을 받는 운동
매질은 매질 내에서 운동하는 물체에 저항력(resistive force) \(\vec{R}\)을 작용한다.
\(\vec{R}\)의 크기는 물체의 속력과 같은 요소에 의하여 결정되며, \(\vec{R}\)의 방향은 언제나 물체의 매질에 대한 상대적인 운동 방향에 반대이다.
모형 1 : 물체의 속도에 비례하는 저항력
액체 or 기체에서 운동하는 물체에 작용하는 저항력이 물체의 속도에 비례하는 경우, 저항력은 다음과 같이 표현될 수 있다.
\[\vec{R} = -b\vec{v}\]여기서 \(b\)는 물체의 모양과 크기 그리고 매질의 성질에 의존하는 값으로 상수이고, \(\vec{v}\)는 물체의 매질에 대한 상대 속도이다. 음의 부호는 \(\vec{R}\)가 \(\vec{v}\)와 반대 방향임음 의미한다.
액체 속에서 정지해 있다가 떨어지는 질량 \(m\)인 작은 공을 생각해보자. 공에 작용하는 힘은 저항력 \(\vec{R} = -b \vec{v}\)와 중력 \(\vec{F}_g\)라 가정하고, 공의 운동을 기술하자.
아래 방향을 양으로 두고 \(\Sigma{F}_y = mg - bv\)에 유의하여 뉴턴의 제2법칙을 적용하면 \(\Sigma{F}_y = ma \rightarrow mg - bv = ma\)
이 식을 가속도 \(dv/dt\)에 대해 풀면 다음과 같다. \(\frac {dv}{dt} = g - \frac bmv\)
이 방정식은 미분 방정식이라 한다.
시간 \(t\)가 증가하면서 저항력의 크기는 증가하고 가속도는 감소한다. 저항력의 크기가 공의 무게에 가까워지면, 공에 작용하는 알짜힘이 영에 가까워지므로 가속도도 0에 가까워진다.
이 경우 공의 속력은 종단 속력(terminal speed) \(v_T\)에 가까워진다.
종단속력은 \(dv/dt\)가 0으로 놓아 구할 수 있다.
\[mg - bv_T = 0 \qquad 즉 \qquad v_T = \frac {mg}b\]\(t = 0\) 일 때 \(v = 0\)인 위 식을 만족하는 \(v\)의 식은 \(v = \frac {mg}b (1 - e^{\frac{-bt}{m}}) = v_T(1 - e^{\frac{-t}{\tau}})\)
모형 2 : 물체 속력의 제곱에 비례하는 저항력
공기 중에서 빠른 속력으로 운동하는 경우 저항력의 크기를 다음과 같이 나타낼 수 있다. \(R = \frac 12 D \rho A v^2\)
\(D\)는 끌림 계수(drag coefficient) \(\rho\)는 공기의 밀도, \(A\)는 운동하는 물체의 속도에 수직인 평면에서 측정한 물체의 단면적이다.
위 방향으로 공기 저항력을 받는 낙하 물체의 운동을 분석해보자.
질량 \(m\)인 물체가 정지 상태에서 자유 낙하하는 경우 두 가지 외력이 작용한다.
알짜힘의 크기는
\[\Sigma{F} = mg - \frac12 D \rho A v^2\]연직 아래 방향을 양으로 보고 알짜힘이 다음과 같이 주어졌을 때 아래 방향 가속도는
\[a = g - (\frac {D\rho A}{2m})v^2\]중력이 저항력과 상쇄될 때, 이 물체에 작용하는 알짜힘은 0이 되고, 따라서 가속도가 0이 된다는 것으로부터 종단 속력을 구할 수 있다.
\[g - (\frac {D\rho A}{2m})v^2 = 0\]을 얻어서
\[v_T = \sqrt{\frac{2mg}{D \rho A}}\]가 된다.