일반 물리학 Chapter 4. 2차원에서의 운동

*본 포스팅은 Serway 물리학교재 번역본 <대학물리학> 9판을 정리한 내용입니다. *

CH3. 벡터는 너무 많이 해서 제외했음

CH4. 2차원에서의 운동

4.1 위치, 속도 그리고 가속도 벡터

• 위치 벡터 (position vector) : \(xy\) 평면에서 좌표계의 원점으로부터 입자까지 연결한 벡터.

• 변위 벡터 (displacement vector) : 나중 위치 벡터에서 처음 위치 벡터를 뺀 것

\[\Delta \vec{r} \equiv \vec{r}_f - \vec{r}_i\]

• 평균 속도 (average velocity) : 입자의 변위를 시간 간격으로 나눈 것. 입자가 두 점 사이를 운동할 때, 입자의 평균 속도는 변위 벡터의 방향과 같다.

\[\vec {v}_{avg} \equiv \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}\]

• 순간 속도 (instantaneous velocity) : \(\Delta t\) 가 0으로 접근하는 평균 속도의 극한으로 정의한다. 순간 속도는 시간에 대한 위치 벡터의 도함수와 같다.

\[\vec {v} \equiv \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d \vec{r}}{dt}\]

• 평균 가속도 (average acceleration) : 순간 속도 벡터의 변화를 걸린 시간으로 나눈 비. 순간 속도 벡터의 변화와 같은 방향을 가진다.

\[\vec{a}_{avg} \equiv \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v}_{f} - \vec{v}_{i}}{t_f - t_i}\]

• 순간 가속도 (instantaneous accleeration) : \(\Delta t\) 가 0에 접근할 때 \(\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\)의 극한값. 시간에 대한 속도 벡터의 일차 도함수와 같다.

\[\vec {a} \equiv \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}}{dt}\]

입자의 여러 가지 속도 변화에서 가속도가 나타남을 인식하는 것은 중요하다.

• 첫째, 일직선(1차원) 운동에서와 같이 속도 벡터의 크기(속력)가 시간에 따라 변할 수 있다.
• 둘째, 곡선 경로를 따라 가는 2차원 운동에서 속도의 크기(속력)는 일정하더라도, 속도의 방향은 시간에 따라 변하기도 한다.
• 마지막으로 속도의 크기와 방향이 모두 변하는 경우이다.

4.2 2차원 등가속도 운동

2차원 운동운 \(x\)축과 \(y\)축 방향의 각각 독립된 두 개의 운동으로 기술될 수 있다. 즉 \(y\) 방향으로의 어떤 영향도 \(x\) 방향의 운동에 영향을 주지 않는다. 그리고 그 반대의 경우도 마찬가지이다.

\(xy\) 평면에서 운동하는 입자의 위치 벡터 \(\Delta \vec{r}\) 은 다음과 같다.

\[\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j}\]

여기서 \(x, y, \vec{r}\)는 입자가 운동하면서 시간에 따라 변하지만 단위 벡터인 \(\hat{i}\) 와 \(\hat{j}\)는 일정하게 유지된다. 위치 벡터를 안다면, 입자의 속도는 순간속도와 위치 벡터 식으로 표현이 가능하다.

\[\vec {r} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}\]

이때 \(v_{xf} = v_{xi} + a_xt\) 임을 이용하면 임의의 시간 t에서의 나중 속도는 다음과 같다.

\[\vec{v_f} = (v_{xi} + a_xt)\hat{i} + (v_{yi} + a_yt)\hat{j} = (v_{xi}\hat{i} + v_{yi}\hat{j}) + (a_x\hat{i} + a_y\hat{j})t\] \[\Delta \vec{v}_f = \vec{v}_i + \vec{a}t\]

마찬가지로 1차원에서 등가속도 운동하는 입자의 위치 \(x = x_i + v_it + \frac{1}{2}at^2\) 이므로 2차원에서 입자의 좌표는 다음과 같이 표현 할 수있다.

\[x_f \equiv x_i + v_{xi} + \frac{1}{2}a_xt^2\] \[y_f \equiv y_i + v_{yi} + \frac{1}{2}a_yt^2\]

이 식들을 이용해 위치 벡터에 대입하면 나중 위치 벡터 \(\Delta \vec{r}_f\) 는 다음과 같다.

\[\vec{r}_f = (x_i + v_{xi} + \frac{1}{2}a_xt^2)\hat{i} + (y_i + v_{yi} + \frac{1}{2}a_yt^2)\hat{j} = (x_i\hat{i} + y_i\hat{j}) + (v_{xi}\hat{i} + v_{yi}\hat{j}) + \frac{1}{2} (a_x\hat{i} + a_y\hat{j})t^2\]

이를 벡터 형태로 나타낸 것이 다음과 같다.

\[\vec{r}_f = \vec{r}_i + \vec{v}_i + \frac{1}{2} \vec{a}t^2\]

4.3 포물체 운동

다음의 두 가지 가정을 통하여 포물체 운동 (projectile motion)을 간단히 분석한다.

• (1) 자유 낙하 가속도는 일정하고 아래를 향한다.
• (2) 공기 저항은 무시한다.

위치 벡터에 대한 포물체의 식은 시간의 함수로서, 중력 가속도 \(\vec{a} = \vec{g}\)를 식 나중 위치 벡터 공식에 대입하여 다음과 같은 식을 얻는다.

\[\vec{r}_f = \vec{r}_i + \vec{v}_i + \frac{1}{2} \vec{g}t^2\]

이때 포물체 운동이 가지는 처음 속도의 \(x\)와 \(y\) 성분은 다음과 같다.

\[v_{xi} = v_i cos\theta_i\] \[v_{yi} = v_i sin\theta_i\]

원점, 즉 \(\vec {r}_i = 0\) 에서 쏜 포물체에 대한 식을 그림으로 표현하다면 다음과 같다.

포물체 문제 풀이 시, 두 분석 모형을 사용한다.

• (1) 수평 방향의 등속 운동하는 입자
• (2) 연직 방향의 등가속도 운동하는 입자 (\(x\)는 \(y\)로, \(a_y = -g\)로 치환)

포물체 운동의 수평 도달 거리와 최대 높이

가장 보편적인 포물체 운동의 특수한 경우를 고려해본다. 다음 그림을 분석해보자.

가장 높이 올라간 점(\(\frac{R}{2}\) , \(h\))과 착지 지점 (\(R\) , 0)을 관심있게 보자. 여기서 거리 \(R\)을 포물체의 수평 도달 거리라고 하며, 거리 \(h\)를 최대 높이라고 한다. 수학적으로 이를 나타내보자.

최대 높이 \(h\)는 최고점에서 \(v_{yA} = 0\)임을 이용하여 구할 수 있다. 그러므로 등가속도 운동하는 입자 모형으로부터 포물체가 최고점에 도달하는 시간 \(t_A\)를 결정할 수 있다.

\[v_{xf} = v_{yi} - gt \rightarrow 0 = v_isin\theta_i - gt\] \[t_A = \frac{v_isin\theta_i}{g}\]

\(t_A\)에 대한 식을 등가속도 운동 모형 공식 \(y\) 방향에 대입하고 \(y_f = y_A\)를 \(h\)로 바꾸면, 처음 속도 벡터의 크기와 방향으로 \(h\)를 표현할 수 있다.

\[y_f = y_i + v_{yi}t - \frac{1}{2}gt^2 \rightarrow h = (v_isin\theta_i)\frac{v_isin\theta_i}{g} - \frac{1}{2}g(\frac{v_isin\theta_i}{g})^2\] \[h = \frac{(v_i)^2(sin\theta_i)^2}{2g}\]

수평 도달 거리 \(R\)는 포물체가 최고점까지 가는 데 걸린 시간의 두배, 즉 \(t_B = 2t_A\) 동안 이동한 수평 위치다. 등속 운동하는 입자 모형을 이용하고 \(v_{xi} = v_{xB} = v_icos\theta_i\)인 관계를 이용하여 \(t = 2t{A}\)일 때 \(x_B = R\)로 두면 다음과 같은 식을 얻는다.

$$ \begin{align} x_f = x_i + v_{xi}t \rightarrow R = v_{xi}t_B &= (v_icos\theta_i)2t_A\\ &= (v_icos\theta_i)\frac{2v_isin\theta_i}{g}\\ &= \frac{2(v_i)^2 sin\theta_i cos\theta_i}{g}\\ &= \frac{(v_i)^2 sin2\theta_i}{g}\\ \end{align}$$

\(R\)의 최댓값은 위 식으로 부터 \(R_{max} = \frac{(v_i)^2}{g}\)이다. 이것은 \(sin 2\theta_i\)의 최댓값이 \(2\theta_i = 90^{\circ}\) 일 때 \(1\)이라는 사실로부터 나온다.

그러므로 \(R\)는 \(\theta_i = 45^{\circ}\) 에서 수평 도달 거리가 최대가 된다.

4.4 분석 모형 : 등속 원운동하는 입자

원 궤도를 따라 도는 운동을 원운동 (circular motion)이라고 한다. 이때 물체가 일정한 속력 \(v\)로 이 경로를 따라 움직이면, 이를 등속 원운동 (uniform circular motion)이라고 한다.

등속 원운동하는 입자의 모형에서 크기가 일정한 속도 벡터는 항상 경로의 접선 방향이고, 원형 경로의 반지름에 수직이다. 따라서 속도 벡터의 방향은 항상 변화하며, 때문에 등속 원운동하는 입자는 가속도가 존재한다고 볼 수 있다.

등속 원운동에서 가속도 벡터는 원의 중심을 향하고 경로에 수직인 성분만 가질 수 있다.

가속도의 크기를 구해보자. 시계 방향으로 원운동하는 입자가 있다. 그림의 위치 벡터와 속도 벡터를 고려하자. \(\vec{v}_i\)와 \(\vec {v}_f\)는 크기는 같고 방향만 다르다.

그림 4.14c에서는 그림 4.14b에 있는 속도 벡터들의 시작점을 일치시켜 다시 그렸다. 이는 벡터합 \(\vec{v}_f = \vec {v}_i + \Delta \vec{v}\)를 나타내고 \(\Delta \vec{v}\)는 두 속도 벡터 머리를 연결한 것이다.

각 그림에 나타난 삼각형은 서로 닮은 꼴임을 이용해 삼각형에서 변의 길이 사이의 관계를 다음과 쓴다.

\[\frac{|\Delta \vec {v}|}{v} = \frac{|\Delta \vec {r}|}{r}\]

여기서 \(v = v_i = v_f\) 이고 \(r = r_i = r_f\) 이다.

이 식에서 \(\vert \Delta \vec{v}\vert\)를 구하여 그 결과를 평균 가속도 \(\vec{a}_{avg} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\)에 대입하면, 입자가 A에서 B로 운동하는 시간 동안의 평균 가속도 크기를 다음과 같이 구할 수 있다.

\[\vert \vec{a}_{avg}\vert = \frac{\vert \Delta \vec{v} \vert}{|\Delta t|} = \frac{v|\Delta \vec{r}|}{r\Delta t}\]

이제 그림 4.14b에서 두 점 A,B가 매우 가까이 접근한다고 상상해보자. A와 B가 서로 접근함에 따라 \(\Delta t\) 는 0으로 접근하고, 이때 \(\vert \Delta \vec{r}\vert\)는 원호를 따르는 입자의 이동거리에 접근하며, 따라서 \(\frac{\vert \Delta \vec {r}\vert}{\Delta t}\)는 속력 \(v\)에 접근한다. 또한 평균 가속도는 점 A에서 순간 가속도가 된다. 그러므로 \(\Delta t \rightarrow 0\)인 극한에서 가속도의 크기는 다음과 같다.

\[a_c = \frac{v^2}{r}\]

이를 구심 가속도 (centripetal acceleration)라 한다. 가속도 아래 첨자 c가 가속도의 방향이 중심을 향하고 있음을 나타낸다.

반지름 \(r\)인 원 위에서 등속 운동하는 입자의 운동에 주기(period) \(T\)를 도입하여 속력이 원 둘레를 주기로 나눈 식 \(v = 2\pi r / T\)를 이용해 주기 공식을 나타내면 다음과 같다.

\[T = \frac{2 \pi r}{v}\]

주기의 역수는 초당 회전수를 나타내는 회전률이다. 원 주위로 입자가 한 번 회전하면 \(2 \pi rad\)이므로 \(2 \pi\) 와 회전률을 곱하면 입자의 각속력(angular speed) \(\omega\)가 된다.

\[\omega = \frac{2 \pi}{T}\]

주기와 각속력 공식을 조합하면 입자가 원의 경로를 따라 이동할 때 각속력과 병진 속력 사이의 관계를 알 수 있다.

\[\omega = 2 \pi (\frac{v}{2 \pi r}) = \frac{v}{r} \rightarrow v = r\omega\]

위 식을 통해 등속 원운동하는 입자의 구심 가속도를 각속력으로 표현할 수 있다.

\[a_c = \frac{(r \omega)^2}{r}\] \[a_c = r \omega ^2\]

CH10에서 이를 더 자세히 다룬다.

4.5 접선 및 지름 가속도

4.4절에서 배운 것보다 더 일반적인 운동을 고려해 보자.

그림과 같은 경우 가속도 \(\vec{a}\) 는 경로와 어떤 각도를 이루고 있다. 그리고 위치에 따라 전체 가속도 \(\vec{a}\)의 방향이 변한다. 임의의 순간 이 벡터는 그 순간에 대응하는 점선 원의 중심을 원점으로 하여 두 개의 성분으로 분리하고, 가속도를 두 성분의 합으로 나타낸다.

\[\vec{a} = \vec{a}_r + \vec{a}_t\]

접선 가속도 성분은 입자의 속력 변화로 생긴다. 이 성분은 순간 속도에 평행하고, 크기는 다음과 같다.

\[a_t = \vert\frac{dv}{dt}\vert\]

지름 가속도 성분은 속도 벡터 방향의 변화로 인하여 생기며 다음과 같이 주어진다.

\[a_r = -a_c = - \frac{v^2}{r}\]

이는 구심 가속도로 사용할 수 있고 순간 구심 가속도가 된다.

\(\vec{a}\) 의 크기는 그 성분들이 서로 수직이므로 \(a = \sqrt{a_r^2 + a_t^2}\) 이다.

\(v\) 가 상수인 등속 원운동에서는 \(a_t = 0\)이고, 가속도는 항상 지름 방향이다.

\(\vec {v}\)의 방향이 변하지 않으면 지름 가속도는 생기지 않고, 운동은 일차원이 된다. (이 경우 \(a_r = 0\) 이지만 \(a_t\)는 0이 아닐 수 있다.)

4.6 상대 속도와 상대 가속도

이번에서는 서로 다른 기준틀에 있는 관측자의 관측이 서로 어떻게 관련되는지 설명하고자 한다.

기준틀은 관측자가 원점에 정지해 있는 직각 좌표계이다.

두 기준틀의 원점이 일치하는 순간을 시간 \(t = 0\) 이라 가정하자. 그러면 시간 \(t\)에서는 두 기준틀의 원점 사이 거리가 \(\vec{v}_{BA} t\) 만큼 벌어질 것이다. 시간 \(t\)일 때 관측자 \(A\)에 대한 입자의 상대적인 위치 \(P\)를 위치 벡터 \(\vec{r}_{PA}\)라 하고, 관측자 \(B\)에 대한 상대적인 위치 \(P\)를 위치 벡터 \(\vec {r}_{PB}\)라 하자. 그림에서 위치 벡터 \(\vec{r}_{PA}\) 와\(\vec {r}_{PB}\)는 다음의 관계식으로 서로 연관되어 있음을 알 수 있다.

\[\vec {r}_PA = \vec{r}_{PB} + \vec{r}_{BA} t\]

이를 시간에 대하여 미분하고 벡터 \(\vec {v}_{BA}\)가 상수임을 감안하면, 다음을 얻는다.

\[\frac{d \vec{r}_{PA}}{dt} = \frac{d \vec{r}_{PB}}{dt} + \vec{v}_{BA}\] \[\vec{u}_{PA} = \vec{u}_{PB} + \vec{v}_{BA}\]

이것이 갈릴레이 변환식(Galilean transformation equations)이다.

비록 두 기준틀에서 관측자들이 입자의 속도를 다르게 측정하더라도, \(\vec{v}_{BA}\)가 일정하면 두 기준틀에서 동일한 가속도를 측정하게 된다. 이는 갈릴레이변환식에서 시간의 대한 도함수를 얻음으로써 확인할 수 있다.

\[\frac{d\vec{u}_{PA}}{dt} = \frac{d\vec{u}_{PB}}{dt} + \frac{d\vec{v}_{BA}}{dt}\]

즉 한 기준틀에 있는 관측자가 측정한 입자의 가속도는 그 기준틀에 대하여 등속도로 상대 운동을 하는 다른 관측자가 측정한 가속도와 같다.