Chankyu Lee

ㅎㅇㅎㅇ

*본 포스팅은 Serway 물리학교재 번역본 <대학물리학> 9판을 정리한 내용입니다. *

Chapter 2. 일차원에서의 운동

본래 Chapter1 부터 하려했으나, 정리할 만큼 중요한 내용은 아니었기에 궁금하다면 원서를 참고하도록.

고전 역학을 공부하는 첫 번째 단계이다.

2.1 위치, 속도 그리고 속력

  • 위치 : 일차원상 좌표계에서 \(x\)는 좌표계의 원점이라고 생각하여 선택한 기준점에 대한 입자의 위치.

  • 변위(displacement) : 처음 위치 \(x_f\) 에서 나중 위치 \(x_i\) 까지 움직일 때, 입자의 변위는

$$\Delta x \equiv x_f - x_i$$
  • 거리(distance) : 입자가 이동한 경로의 길이

변위는 벡터양의 한 예이다. 위치, 속도 그리고 가속도를 포함해서 다른 많은 물리량이 벡터양이다. 일반적으로 벡터양은 방향과 크기가 있다. 반면에 스칼라양은 크기만 있고 방향은 없다.

  • 평균 속도(average velocity) : 변위 \(\Delta x\) 를 변위가 일어난 시간 간격 \(\Delta t\) 로 나눈 것. 서로 다른 운동을 비교하는 보통의 방법이다.
$$v_{x,avg} \equiv \frac{\Delta x}{\Delta t}$$
  • 평균 속력(average speed) : 얼마나 빨리 달렸는지를 정량적으로 나타낸 물리량. 스칼라양이며 전체 거리 \(d\)를 이동하는데 걸린 전체 시간 간격으로 나눈 값. SI 단위는 m/s.
$$v_{avg} \equiv \frac{d}{\Delta t}$$

2.2 순간 속도와 속력

  • 순간 속도(instantaneous velocity) : 데이터를 얻기 시작한 순간의 속도. \(v_x\)는 \(\Delta t\)가 0으로 접근해갈 때 \(\Delta x / \Delta t\)의 극한값과 같다. 미분 기호로 나타내면 이 극한은 \(t\)에 관한 \(x\)의 도함수라 하고 \(dx/dt\)로 쓴다. 이제 순간 속도를 속도라 하겠다.
$$v_x \equiv \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}$$
  • 순간 속력(instantaneous speed) : 순간 속도의 크기

2.3 분석 모형 : 등속 운동하는 입자

등속 운동하는 입자를 생각해보자. 입자의 속도가 일정하면, 시간 간격 내 어떤 순간에서의 순간 속도는 이 구간에서의 평균 속도와 같다. 다시 말하면 \(v_x = v_{x,avg}\)이다. 평균속도 공식으로부터 수학적인 표현에 사용될 수 있는 식을 얻을 수 있다.

$$v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t}$$

여기서 \(\Delta x = x_f - x_i\)이면, \(v_x = (x_f - x_i)/\Delta t\)이다. 또는

$$x_f = x_i + v_x\Delta t$$

일반적으로 실제 문제에서 처음 시간을 \(t_i = 0\), 나중 시간을 \(t_f = t\)로 놓으므로, 이 식은 다음과 같이 된다. 이때 \(v_x\)는 일정하다.

$$x_f = x_i + v_xt$$

위 식이 등속 운동하는 입자의 모형에 사용되는 중요한 관계식이다.

2.4 가속도

  • 평균 가속도(average acceleration) : \(a_{x,avg}\)는 속도 변화 \(\Delta v_x\)를 변화가 일어나는 동안의 시간 간격 \(\Delta t\)로 나눈 값으로 정의된다.
$$a_{x,avg} \equiv \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{v_{xf} - v_{xi}}{t_f - t_i}$$
  • 순간 가속도(instantaneous acceration) : 평균 가속도의 극한값으로 정의된다. 즉 순간 가속도는 시간에 대한 속도의 도함수와 같다. 이제 순간 가속도를 가속도라고 표현한다.
$$a_x \equiv \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{dv_x}{dt}$$

가속도는 또한 다음과 같이 시간에 대한 \(x\)의 이계 도함수와 같다.

$$a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{dx}{dt}) = \frac{d^2x}{dt^2}$$

2.5 분석 모형 : 등가속도 운동하는 입자

입자의 가속도가 일정하면 시간 간격을 임의로 설정하여도 평균 가속도 \(a_{x,avg}\)는 항상 순간 가속도 \(a_x\)와 같고, 입자의 속도는 운동하는 전 구간에 걸쳐 같은 비율로 변한다. 평균 가속도 공식에서 \(a_{x,avg}\)를 \(a_x\)로 치환하고 \(t_i = 0\)과 \(t_f = t\)로 두면 다음과 같다.

$$a_x = \frac{v_{xf} - v_{xi}}{t - 0}$$

이다. 또는

$$v_{xf} = v_{xi} - a_x t$$

이때 \(a_x\)는 일정하다. 물체의 처음 속도 \(v_xi\)와 (일정한) 가속도 \(a_x\)를 알면 어떤 시간 t에서 물체의 속도를 구할 수 있다. 등가속도 운동에서 속도는 이 식에 의해 시간에 따라 선형으로 변하기 때문에, 어떤 시간 간격 동안의 평균 속도는 처음 속도 \(v_xi\)와 나중 속도 \(v_xf\)의 산술 평균으로 표현될 수 있다.

$$v_{x,avg} = \frac{v_{xi} + v_{xf}}{2}$$

평균 속도에 대한 이 표현은 가속도가 일정한 상황에서만 적용된다. 이 식과 변위, 평균 속도 공식을 이용하여 물체의 위치를 시간의 함수로 구할 수 있다. \(\Delta x = x_f - x_i\)이고 \(\Delta t = t_f - t_i = t - 0 = t\)임을 고려하면

$$x_f - x_i = v_{x,avg}t = \frac{1}{2} (v_{xi} + v_{xf})t$$
$$x_f = x_i + \frac{1}{2} (v_{xi} + v_{xf})t$$

이 식은 처음 속도와 나중 속도에 의하여, 시간이 t일 때 입자의 나중 위치를 나타낸다. \(v_{xf} = v_{xi} - a_x t\)이므로 등가속도로 운동하는 입자의 위치에 관한 또 하나의 유용한 식을 얻을 수 있다. 이 식은 입자의 처음 속도와 등가속도를 알 때 시간 t에서 입자의 나중 위치를 나타낸다.

$$x_f = x_i + \frac{1}{2}[v_{xi} + (v_{xi} + a_x t)]t$$
$$ x_f = x_i + v_{xi}t + \frac{1}{2} a_xt^2$$

마지막으로 \(v_{xf} = v_{xi} - a_x t\)를 \(x_f = x_i + \frac{1}{2} (v_{xi} + v_{xf})t\)에 대입하여 \(t\)를 소거함으로써, 변수 \(t\)를 포함하지 않는 나중 속도에 관한 식을 얻을 수 있다.

$$x_f=x_i+\frac{1}{2}(v_{xi}+v_{xf})(\frac{v_{xf}-v_{xi}}{a_x})=x_i+\frac{v_{xf}^2-v_{xi}^2}{2a_x}$$
$$v_{xf}^2 = v_{xi}^2 + 2a_x(x_f - x_i)$$

이 식은 나중 속도를 입자의 처음 속도, 등가속도 및 위치로 나타낸 것이다.

2.6 자유 낙하 물체

자유 낙하 물체라는 표현을 사용할 때, 반드시 정지 상태로부터 떨어지는 물체만을 의미하지는 않는다. 자유 낙하 물체는 처음의 운동 상태에 상관없이 중력만의 영향하에서 자유롭게 움직이는 물체이다. 위로 또는 아래로 던져진 물체와 정지한 상태에서 떨어지는 물체 모두 자유롭게 떨어진다. 위로 또는 아래로 던져진 물체와 정지한 상태에서 떨어지는 물체 모두 자유롭게 떨어진다. 어떤 자유 낙하 물체의 가속도도 처음 운동과 상관없이 아래로 향하며 크기가 같다. 자유 낙하 가속도 또는 중력 가속도의 크기를 g로 표기한다. 지표면에서의 g의 값은 근사적으로 \(9.80 m/s^2\)이다.

참고